Los desafíos matemáticos pueden ser categorizados de diversas maneras, siendo una de ellas su nivel de dificultad. En este sentido, existen operaciones más simples, resueltas mediante cálculos o razonamientos directos, así como problemas más complejos que demandan un mayor esfuerzo intelectual, pero que al final se logran resolver.

Dentro de la categoría de problemas matemáticos de alta complejidad, destaca la conjetura de Collatz, un problema que ha desconcertado a la comunidad científica durante más de 80 años. Incluso las mentes más brillantes han manifestado la extrema dificultad de abordar esta operación, llegando a considerarlo prácticamente imposible de solucionar hasta el momento.

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Qué es la conjetura de Collatz

La conjetura de Collatz, también conocida como conjetura 3n + 1 o conjetura de Ulam, fue introducida en 1937 por el matemático alemán Lothar Collatz. 

Establece que, para cualquier número natural (n), si se aplica el siguiente proceso repetidamente, eventualmente se llegará al número 1:

• Si el número es par, divídelo por 2.
• Si el número es impar, multiplícalo por 3 y súmale 1.

Bajo este contexto, si se comienza con el número 13, la secuencia de Collatz es la siguiente: 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. 

Si se aplica la conjetura queda de la siguiente manera: 

• Para 13 (impar): 13 * 3 + 1 = 40
• Para 40 (par): 40 / 2 = 20
• Para 20 (par): 20 / 2 = 10
• Para 10 (par): 10 / 2 = 5
• Para 5 (impar): 5 * 3 + 1 = 16
• Para 16 (par): 16 / 2 = 8
• Para 8 (par): 8 / 2 = 4
• Para 4 (par): 4 / 2 = 2
• Para 2 (par): 2 / 2 = 1

La Conjetura de Collatz plantea un desafío matemático aparentemente sencillo, que ha sido verificado para la mayoría de los números naturales. Sin embargo, su misterio persiste, ya que aún no se ha demostrado para números más grandes que superen el umbral de 20 dígitos, y carece de pruebas que confirmen su validez en esos casos.

Si bien funciona para millones de números, no se ha comprobado si esto es cierto para todos, y esto es precisamente el enigma que los matemáticos no han logrado resolver. Además, involucra un número infinito de números enteros que, incluso el superordenador más potente, no puede verificar para ver si la conjetura es cierta. 

Otra razón por la que la conjetura de Collatz es un problema muy complejo es porque es caótico. Esto quiere decir que los resultados pueden variar mucho según el valor inicial que se elija. 

Por ejemplo, si empezamos con 27, la secuencia de Collatz tiene 112 pasos, pero si empezamos con 28, solo tiene 18 pasos. Así, es muy difícil predecir el comportamiento de la secuencia para números grandes.

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Aunque se ha probado con varios miles de millones de números, todos ellos acaban eventualmente a 1. Sin embargo, esta regularidad no garantiza el mismo resultado para números más grandes, por lo que si no hay una demostración general, la conjetura persiste como tal.

Adicionalmente, la falta de una estructura matemática evidente complica su resolución, obligando a recurrir a métodos más generales y, a menudo, más difíciles de aplicar. 

Resolver el enigma de por qué la conjetura no se extiende más allá de 20 dígitos, se establece como una de las interrogantes más desafiantes que han enfrentado los expertos a lo largo de los años y se espera que el enigma continúe hasta que se demuestre lo contrario.